Observar el proceso de crecimiento y mengua de la Luna desde luna nueva hasta luna llena, o el registro anual de la estatura de Wang Fang desde los 1 hasta los 17 años. Estos datos no son caóticos, sino que están ordenados según el orden cronológico. En matemáticas, estasucesión de números dispuestos en un orden determinado, nos ayuda a capturar las leyes de evolución del mundo discreto. Esto es una sucesión — un modelo importante en matemáticas para describir patrones dinámicos.
Definición y características clave de las sucesiones
La esencia de una sucesión es una función especial cuya variable independiente es la "posición" o "índice" de un término $n$, y la variable dependiente es el valor correspondiente en esa posición $a_n$. A través dela fórmula general, podemos predecir cualquier término de la sucesión, tal como usamos una expresión analítica de una función.
Elementos clave:
- Orden: Los términos de una sucesión deben estar dispuestos en un orden determinado; cambiar el orden produce una sucesión diferente.
- Discreción: El dominio es el conjunto de los enteros positivos $\mathbb{N}^*$ o un subconjunto finito de él, por lo tanto, su gráfica consta de puntos aislados en el sistema de coordenadas.
- Relación correspondiente: Existe una relación funcional determinada entre el término $n$-ésimo $a_n$ y su índice $n$, dada por $a_n = f(n)$.
Una sucesión es una función especial. Si la relación entre el término $n$-ésimo $a_n$ y su índice $n$ de la sucesión $\{a_n\}$ puede expresarse mediante una fórmula, dicha fórmula se denominala fórmula general.
$$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots \quad \text{abreviado como} \ \{a_n\}$$
1. Recopilar los términos del polinomio: un cuadrado $x^2$, tres tiras rectangulares de $x$, y dos cuadrados unitarios $1 \times 1$.
2. Comenzar a ensamblarlos geométricamente.
3. ¡Perfectamente! Forman un rectángulo más grande. Su ancho es $(x+2)$ y su altura es $(x+1)$.
PREGUNTA 1
¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre sucesiones es correcta?
La sucesión $1, 2, 3, 4$ y la sucesión $4, 3, 2, 1$ son la misma sucesión
Los términos de una sucesión no pueden repetirse
Una sucesión puede considerarse como una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos (o un subconjunto de ellos)
La gráfica de una sucesión es una línea recta o curva continua
¡Correcto!
El núcleo de una sucesión está en el "orden determinado", y su dominio es discreto (enteros positivos), por lo tanto, su gráfica consta de puntos aislados.
Incorrecto
Tenga en cuenta la definición de sucesión: una lista de números dispuestos en un orden determinado. Cambiar el orden cambia la sucesión.
PREGUNTA 2
Según los primeros cuatro términos de la sucesión: $1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \dots$, ¿cuál podría ser su fórmula general?
$a_n = \frac{(-1)^n}{n}$
$a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$
$a_n = \frac{1}{n}$
$a_n = (-1)^n \cdot n$
¡Perfecto!
El primer término $a_1=1$ es positivo, por lo tanto, el término de signo debe ser $(-1)^{1+1}$, y el denominador aumenta con $n$. La fórmula general es $a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$.
Sugerencia
Observe si el primer término es positivo o negativo. Cuando $n=1$, $(-1)^n$ da $-1$, mientras que $(-1)^{n+1}$ da $1$.
PREGUNTA 3
Si la fórmula general de la sucesión $\{a_n\}$ es $a_n = n^2 + 2n$, ¿en qué posición aparece el número 120?
Término número 12
Término número 10
Término número 8
No es un término de esta sucesión
¡Cálculo correcto!
Sea $n^2 + 2n = 120$, es decir, $n^2 + 2n - 120 = 0$. Al resolver, obtenemos $n=10$ o $n=-12$ (se descarta). Por tanto, es el término número 10.
Sugerencia
Resuelva la ecuación $n^2 + 2n = 120$. Recuerde que el número de término $n$ debe ser un entero positivo.
PREGUNTA 4
En el triángulo de Sierpiński, al aumentar el número de iteraciones $n$, el número de triángulos coloreados sigue la secuencia $1, 3, 9, 27 \dots$. Entonces, el número de triángulos coloreados en la figura número $n$ es:
$3n$
$3^n$
$3^{n-1}$
$n^3$
¡Observación precisa!
Se trata de una regla de crecimiento geométrico: $3^0, 3^1, 3^2, 3^3 \dots$, correspondiente a los índices $n=1, 2, 3, 4 \dots$, por lo tanto, la fórmula general es $3^{n-1}$.
Incorrecto
Verifique si la fórmula da 1 cuando $n=1$. $3^1=3$, pero $3^{1-1}=1$.
PREGUNTA 5
Una posible fórmula general para la sucesión $2, 0, 2, 0, \dots$ es:
$a_n = (-1)^{n+1} + 1$
$a_n = (-1)^n + 1$
$a_n = \cos(n\pi)$
$a_n = 2n - 2$
¡Correcto!
Cuando $n$ es impar, $a_n=1+1=2$; cuando $n$ es par, $a_n=-1+1=0$.
Sugerencia
Esta es una sucesión oscilante. Utilice la propiedad de paridad de $(-1)^n$ para construir cancelaciones o sumas de términos constantes.
PREGUNTA 6
Si una sucesión cumple que cada término a partir del segundo es mayor que el anterior, se denomina:
sucesión finita
sucesión creciente
sucesión decreciente
sucesión constante
¡Correcto!
Esta es la definición estricta de una sucesión creciente: $a_n > a_{n-1}$.
Incorrecto
"Mayor que" corresponde a "creciente", "menor que" a "decreciente", y "igual que" a "constante".
PREGUNTA 7
Dada la fórmula general de la sucesión $\{a_n\}$ como $a_n = \frac{n^2+n}{2}$, entonces $a_5$ es igual a:
10
15
20
25
¡Correcto!
$a_5 = \frac{5^2 + 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$.
Sugerencia
Simplemente sustituya $n=5$ en la fórmula para calcular.
PREGUNTA 8
¿Qué característica muestra la fórmula general $a_n = (-1)^n$ de la sucesión $-1, 1, -1, 1, \dots$?
Es una sucesión creciente
Es una sucesión decreciente
Es una sucesión oscilante
Es una sucesión finita
¡Exacto!
Los valores de los términos oscilan alternativamente entre positivo y negativo.
Incorrecto
Observe los valores: $-1, 1, -1, 1$. No aumenta ni disminuye continuamente.
PREGUNTA 9
¿Puede tener una sucesión un número infinito de términos?
Sí, se llama sucesión infinita
No, una sucesión debe tener un final
Solo las sucesiones constantes pueden ser infinitas
Solo las sucesiones aritméticas pueden ser infinitas
¡Correcto!
Una sucesión con un número infinito de términos se denomina sucesión infinita, como la sucesión de los números naturales.
Incorrecto
Por definición, una sucesión con un número finito de términos se llama sucesión finita, y una con un número infinito se llama sucesión infinita.
Desafío: Lógica y modelado de sucesiones
Desde patrones discretos hasta demostraciones rigurosas
Tarea 1
Escriba los primeros 10 términos de las siguientes sucesiones y dibuje sus gráficas: (1) La sucesión formada por los inversos de todos los enteros positivos ordenados de menor a mayor; (2) La sucesión formada por los valores de la función $f(x) = 2x + 1$ cuando $x$ toma sucesivamente los valores 1, 2, 3, ...; (3) $a_n = \begin{cases} 2, & n \text{ es impar} \\ n+1, & n \text{ es par} \end{cases}$
Respuesta de referencia:
(1) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{1}{10}$. La gráfica consiste en puntos aislados sobre la curva de la función inversa proporcional en el primer cuadrante.
(2) $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21$. La gráfica consiste en una serie de puntos sobre una recta de pendiente 2.
(3) $2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 9, 2, 11$. La gráfica muestra que los términos impares están sobre la recta $y=2$, y los pares sobre la recta $y=x+1$.
(1) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{1}{10}$. La gráfica consiste en puntos aislados sobre la curva de la función inversa proporcional en el primer cuadrante.
(2) $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21$. La gráfica consiste en una serie de puntos sobre una recta de pendiente 2.
(3) $2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 9, 2, 11$. La gráfica muestra que los términos impares están sobre la recta $y=2$, y los pares sobre la recta $y=x+1$.
Tarea 2
Dada la sucesión $\{a_n\}$ con primer término $a_1=1$ y fórmula recursiva $a_n = 1 + \frac{1}{a_{n-1}}$ para $n \ge 2$, escriba sus primeros 5 términos.
Respuesta de referencia:
$a_1 = 1$
$a_2 = 1 + \frac{1}{1} = 2$
$a_3 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
$a_4 = 1 + \frac{1}{3/2} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$
$a_5 = 1 + \frac{1}{5/3} = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$
Los primeros 5 términos son: $1, 2, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}$.
$a_1 = 1$
$a_2 = 1 + \frac{1}{1} = 2$
$a_3 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
$a_4 = 1 + \frac{1}{3/2} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$
$a_5 = 1 + \frac{1}{5/3} = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$
Los primeros 5 términos son: $1, 2, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}$.
Tarea 3
Observe las características de la siguiente sucesión y complete los espacios con números adecuados: $(\quad), -4, 9, (\quad), 25, (\quad), 49$, y escriba una fórmula general.
Respuesta de referencia:
Se observa que el valor absoluto de cada término es $n^2$, y el signo alterna. Los términos 2º, 4º y 6º son negativos.
Completar:$1$, -4, 9, $-16$, 25, $-36$, 49.
Fórmula general: $a_n = (-1)^{n+1} \cdot n^2$.
Se observa que el valor absoluto de cada término es $n^2$, y el signo alterna. Los términos 2º, 4º y 6º son negativos.
Completar:$1$, -4, 9, $-16$, 25, $-36$, 49.
Fórmula general: $a_n = (-1)^{n+1} \cdot n^2$.
Tarea 4
Dadas las sucesiones $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$, ambas aritméticas con diferencias $d_1, d_2$. Si $c_n = a_n + 2b_n$, (1) ¿es $\{c_n\}$ una sucesión aritmética? (2) Si $d_1=d_2=2$ y $a_1=b_1=1$, encuentre la fórmula general de $\{c_n\}$.
Respuesta de referencia:
(1) Sí. $c_{n+1}-c_n = (a_{n+1}-a_n) + 2(b_{n+1}-b_n) = d_1 + 2d_2$, que es una constante. Por tanto, $\{c_n\}$ es una sucesión aritmética.
(2) $c_1 = a_1 + 2b_1 = 3$. La nueva diferencia $d = d_1 + 2d_2 = 2 + 2(2) = 6$. La fórmula general es $c_n = 3 + (n-1)6 = 6n - 3$.
(1) Sí. $c_{n+1}-c_n = (a_{n+1}-a_n) + 2(b_{n+1}-b_n) = d_1 + 2d_2$, que es una constante. Por tanto, $\{c_n\}$ es una sucesión aritmética.
(2) $c_1 = a_1 + 2b_1 = 3$. La nueva diferencia $d = d_1 + 2d_2 = 2 + 2(2) = 6$. La fórmula general es $c_n = 3 + (n-1)6 = 6n - 3$.
Tarea 5
Dada una sucesión aritmética $\{a_n\}$ con diferencia $d$, demuestre que $\frac{a_m - a_n}{m-n}=d$. ¿Puede explicar este resultado desde el punto de vista de la pendiente de una recta?
Respuesta de referencia:
Demostración: $a_m = a_1 + (m-1)d$, $a_n = a_1 + (n-1)d$. Entonces $a_m - a_n = (m-n)d$. Dado que $m \neq n$, al dividir ambos lados por $m-n$ se obtiene $\frac{a_m-a_n}{m-n} = d$.
Explicación geométrica:Los términos de la sucesión están distribuidos sobre la recta $y = dx + (a_1-d)$. El valor $\frac{a_m-a_n}{m-n}$ es exactamente la fórmula de la pendiente de la recta que pasa por los puntos $(m, a_m)$ y $(n, a_n)$, cuya pendiente siempre es igual a la diferencia común $d$.
Demostración: $a_m = a_1 + (m-1)d$, $a_n = a_1 + (n-1)d$. Entonces $a_m - a_n = (m-n)d$. Dado que $m \neq n$, al dividir ambos lados por $m-n$ se obtiene $\frac{a_m-a_n}{m-n} = d$.
Explicación geométrica:Los términos de la sucesión están distribuidos sobre la recta $y = dx + (a_1-d)$. El valor $\frac{a_m-a_n}{m-n}$ es exactamente la fórmula de la pendiente de la recta que pasa por los puntos $(m, a_m)$ y $(n, a_n)$, cuya pendiente siempre es igual a la diferencia común $d$.
Tarea 6
Al probar mediante inducción matemática la fórmula de la suma de los primeros $n$ términos de una sucesión aritmética $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$, si se comete un error al pasar del paso $n=k$ al paso $n=k+1$, ¿dónde suele estar el error?
Respuesta de referencia:
Errores comunes incluyen: (1) No usar la hipótesis para $n=k$, sino utilizar directamente el resultado; (2) No sustituir correctamente la propiedad de la fórmula general de una sucesión aritmética en la transformación $S_{k+1} = S_k + a_{k+1}$; (3) Olvidar la verificación básica para $n=1$.
Errores comunes incluyen: (1) No usar la hipótesis para $n=k$, sino utilizar directamente el resultado; (2) No sustituir correctamente la propiedad de la fórmula general de una sucesión aritmética en la transformación $S_{k+1} = S_k + a_{k+1}$; (3) Olvidar la verificación básica para $n=1$.
Tarea 7
En el patrón de copo de nieve construido por el matemático sueco Koch, si el triángulo equilátero original (Figura ①) tiene lado de longitud 1, y su perímetro se denota como $C_1$. En cada paso, cada lado se divide en tres partes iguales y se construye un pequeño triángulo equilátero hacia afuera. Calcule $C_4$.
Respuesta de referencia:
$C_1 = 3$. En cada iteración, el número de lados se multiplica por 4, y la longitud de cada lado se reduce a $1/3$. Por tanto, el perímetro se multiplica por $4/3$.
$C_n = 3 \cdot (\frac{4}{3})^{n-1}$.
$C_4 = 3 \cdot (\frac{4}{3})^3 = 3 \cdot \frac{64}{27} = \frac{64}{9}$.
$C_1 = 3$. En cada iteración, el número de lados se multiplica por 4, y la longitud de cada lado se reduce a $1/3$. Por tanto, el perímetro se multiplica por $4/3$.
$C_n = 3 \cdot (\frac{4}{3})^{n-1}$.
$C_4 = 3 \cdot (\frac{4}{3})^3 = 3 \cdot \frac{64}{27} = \frac{64}{9}$.
Tarea 8
La altura de un cohete $t$ segundos después del lanzamiento es $h(t)=0.9t^2$. Calcule: (1) la velocidad promedio en el intervalo $1 \le t \le 2$; (2) la velocidad instantánea a los $10$ segundos. Piense cómo las alturas en momentos discretos forman una sucesión.
Respuesta de referencia:
(1) Velocidad promedio $v = \frac{h(2)-h(1)}{2-1} = 0.9(4-1) = 2.7$ m/s.
(2) La velocidad instantánea es la derivada $h'(t) = 1.8t$. Cuando $t=10$, $v = 18$ m/s.
Relación con sucesiones:Si observamos únicamente las alturas en segundos enteros $h(1), h(2), \dots, h(n)$, estos forman una sucesión con fórmula general $a_n = 0.9n^2$.
(1) Velocidad promedio $v = \frac{h(2)-h(1)}{2-1} = 0.9(4-1) = 2.7$ m/s.
(2) La velocidad instantánea es la derivada $h'(t) = 1.8t$. Cuando $t=10$, $v = 18$ m/s.
Relación con sucesiones:Si observamos únicamente las alturas en segundos enteros $h(1), h(2), \dots, h(n)$, estos forman una sucesión con fórmula general $a_n = 0.9n^2$.
✨ Puntos clave
Los números se ordenan,el orden es primordial.función discreta,puntos conectados por una relación.fórmula general,encuentre el valor de $n$.crecimiento y decrecimiento,buscando patrones¡
💡 Diferencia entre sucesiones y funciones
Aunque una sucesión es un tipo especial de función, su gráfica está compuesta por puntos aislados y no puede conectarse con líneas continuas. Solo cuando $n$ es un entero positivo, el término está definido.
💡 Use eficazmente el índice $n$
El número de término $n$ empieza desde 1. Al escribir la fórmula general, asegúrese de sustituir $n=1$ para verificar si el primer término es correcto.
💡 Observe los cambios de signo
$(-1)^n$ o $(-1)^{n+1}$ se usan frecuentemente para representar patrones de cambio alternado entre positivo y negativo. Si el primer término es negativo, elija el primero; si es positivo, elija el segundo.
💡 La fórmula general no es única
Los primeros términos de una misma sucesión pueden corresponder a múltiples fórmulas generales, salvo que el problema indique lo contrario. Por ejemplo, $1, 2, 4 \dots$ podría ser $2^{n-1}$, o también un polinomio cuadrático complejo.
💡 Recursividad frente a fórmula general
La fórmula general da directamente la relación entre $n$ y $a_n$, mientras que la fórmula recursiva da la relación entre $a_n$ y $a_{n-1}$. Al calcular valores, la fórmula general suele ser más directa.